ทฤษฎีเบื้องต้นของความน่าจะเป็น

6. ทฤษฎีเบื้องต้นของความน่าจะเป็น

 

1.       การทดลองสุ่ม

การทดลองสุ่ม คือ การทดลองที่ไม่สามารถทำนายผลลัพธ์ที่จะเกิดขึ้นได้ และถึงแม้จะทราบว่าอาจจะเกิดอะไรได้บ้าง แต่ก็ไม่สามารถควบคุมได้

เช่น การโยนเหรียญบาท 1 เหรียญ 1 ครั้ง เป็นการทดลองสุ่ม

เนื่องจาก ไม่สามารถทำนายผลลัพธ์ล่วงหน้าได้ ถึงแม้ว่าจะทราบว่าผลลัพธ์ที่อาจจะเกิดขึ้นได้ คือ หัว หรือ ก้อย แต่ไม่สามารถควบคุมได้

 

2.      แซมเปิลสเปซ

ข้อกำหนด

แซมเปิลสเปซ คือ เซตที่มีสมาชิกเป็นผลลัพธ์ที่อาจจะเป็นไปได้ทั้งหมดของการทดลองสุ่ม และจะถูกเขียนแทนด้วย S

 

ข้อสังเกต

1. แซมเปิลสเปซเป็นเซตเสมอ

2. ในการทดลองสุ่มเดียวกัน อาจจะมีแซมเปิลสเปวได้หลายแบบ ซึ่งขึ้นอยู่กับผลลัพธ์ที่เราสนใจว่าต้องการหรือสนใจสิ่งใด

 

ตัวอย่างที่ 1 ในการโยนลูกเต๋าสองลูก ผลลัพธ์ที่จะเป็นไปได้จะเป็นคู่อันดับต่างไ ของลูกเต๋าลูกที่หนึ่งกับลูกเต๋าลูกที่สอง โดยที่

1. ผลลัพธ์ที่ได้มาจากการโยนลูกเต๋าลูกที่หนึ่ง เป็นสมาชิกตัวหน้า

2. ผลลัพธ์ที่ได้มาจากการโยนลูกเต๋าลูกที่สอง เป็นสมาชิกตัวหลัง

วิธีทำ   S =     { (1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6),

(2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6),

(3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6),

(4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6),

(5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6),

(6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6) }

 

ตัวอย่างที่ 2 หยิบไพ่ 1 ใบ จากไพ่สำรับหนึ่ง เป็นการทดลองสุ่ม ถ้า

1. ผลลัพธ์ที่สนใจ คือ แต้มที่จะได้ และให้ S1 แทนแซมเปิลสเปซของการทดลองสุ่มนี้ แล้วจงหา S1

2. ผลลัพธ์ที่สนใจ คือ ชุดของไพ่ที่ได้ และให้ S2 แทนแซมเปิลสเปซของการทดลองสุ่มนี้ แล้วจงหา S2


วิธีทำ

1. ผลลัพธ์ที่สนใจ คือ แต้มที่จะได้

S1 = {   (Aโพดำ), (Aโพแดง), (Aข้าวหลามตัด), (Aดอกจิก),

(2โพดำ), (2โพแดง), (2ข้าวหลามตัด), (2ดอกจิก),

(3โพดำ), (3โพแดง), (3ข้าวหลามตัด), (3ดอกจิก),

(4โพดำ), (4โพแดง), (4ข้าวหลามตัด), (4ดอกจิก),

(5โพดำ), (5โพแดง), (5ข้าวหลามตัด), (5ดอกจิก),

(6โพดำ), (6โพแดง), (6ข้าวหลามตัด), (6ดอกจิก),

(7โพดำ), (7โพแดง), (7ข้าวหลามตัด), (7ดอกจิก),

(8โพดำ), (8โพแดง), (8ข้าวหลามตัด), (8ดอกจิก),

(9โพดำ), (9โพแดง), (9ข้าวหลามตัด), (9ดอกจิก),

(10โพดำ), (10โพแดง), (10ข้าวหลามตัด), (10ดอกจิก),

(Jโพดำ), (Jโพแดง), (Jข้าวหลามตัด), (Jดอกจิก),

(Qโพดำ), (Qโพแดง), (Qข้าวหลามตัด), (Qดอกจิก),

(Kโพดำ), (Kโพแดง), (Kข้าวหลามตัด), (Kดอกจิก)}

 

2. ผลลัพธ์ที่สนใจ คือ ชุดของไพ่ที่ได้

S2 = { โพดำ, โพแดง, ข้าวหลามตัด, ดอกจิก }

 

3.      เหตุการณ์

ข้อกำหนด

เหตุการณ์ คือ สับเซตของแซมเปิลสเปซ ซึ่งจะถูกเขียนแทนด้วยอักษรตัวใหญ่ A, B, C, D, E,…

 

ข้อสังเกต

1. เหตุการณ์เป็นเซตเสมอ

2. เนื่องจากจำนวนสับเซตของ S ทั้งหมดมีได้เท่ากับ 2n(S)

 

ตัวอย่างที่ 3 ในการโยนลูกเต๋าลูกเดียวหนึ่งครั้ง ผลลัพธ์ที่สนใจคือแต้มที่ได้ จงหา

1. แซมเปิลสเปซ

2. เหตุการณ์ที่ได้แต้มขึ้นเป็นเลขคี่

3. เหตุการณ์ที่ได้แต้มขึ้นเป็นเลขคู่

4. เหตุการณ์ที่ได้แต้มซึ่งหารด้วย 3 ลงตัว

5. เหตุการณ์ที่ได้แต้มขึ้นอย่างน้อย 3

6. เหตุการณ์ที่ได้แต้มต่ำกว่า 4

วิธีทำ

1. ถ้า S เป็นแซมเปิลสเปซ แล้ว S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }

2. ถ้า E1 เป็นเหตุการณ์ที่ได้แต้มขึ้นเป็นเลขคี่ แล้ว E1 = {1, 3, 5 }

3. ถ้า E2 เหตุการณ์ที่ได้แต้มขึ้นเป็นเลขคู่ แล้ว E2 = { 2, 4, 6 }

4. ถ้า E3 เหตุการณ์ที่ได้แต้มซึ่งหารด้วย 3 ลงตัว แล้ว E3 = { 3, 6 }

5. ถ้า E4 เหตุการณ์ที่ได้แต้มขึ้นอย่างน้อย 3 แล้ว E4 ={ 3, 4, 5, 6 }

6. ถ้า E5 เหตุการณ์ที่ได้แต้มต่ำกว่า 4 แล้ว E5 = { 1, 2, 3 }


4.     
การกระทำระหว่างเหตุการณ์

เหตุการณ์สามารถกระทำกันได้ด้วยตัว กระทำของเซต คือ ยูเนียน (Union), อินเตอร์เซกชัน (Intersection), ผลต่าง (Difference) และคอมพลีเมนต์ (Complement) แล้วทำให้เกิดเหตุการณ์ใหม่ ดังนี้

 

4.1 ยูเนียนของเหตุกาณ์ (Union of events)

ข้อกำหนด      ถ้า E1 และ E2 เป็นเหตุการณ์สองเหตุการณ์แล้ว

E1 Union E2 คือ เหตุการณ์ที่ประกอบด้วยสมาชิกของเหตุการณ์ E1 หรือเหตุการณ์ของ

E2 หรือทั้งสองเหตุการณ์

 

ตัวอย่างที่ 4 ในการทอดลูกเต๋าพร้อมกันสองลูก ถ้า E1 เป็นเหตุการณ์ที่จะได้แต้มเหมือนกัน และ E2 เป็นเหตุการณ์ที่ได้ผลรวมของแต้มหารด้วย 6 ลงตัว จงหายูเนียนของเหตุการณ์ E1 และ E2

วิธีทำ  เราจะพบว่า แซมเปิลสเปซที่เป็นเซตที่ประกอบด้วยผลรวมของแต้มบนลูกเต๋าทั้งสองที่อาจเป็นไปได้ทั้งหมด คือ

S = { 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 }

จากโจทย์ จะได้ E1 = { 3 }

และ                        E2 = { 6, 12 }

ดังนั้น                      E1 Union E2 = { 3, 6, 12 }

 


4.2 อินเตอร์เซกชันของเหตุการณ์ (Intersection of events)

ข้อกำหนด       ถ้า E1 และ E2 เป็นเหตุการณ์สองเหตุการณ์แล้ว

E1 Intersection E2 คือ เหตุการณ์ที่ประกอบด้วยสมาชิกที่อยู่ในทั้งสองเหตุการณ์

ตัวอย่างที่ 5 ในการทอดลูกเต๋าสองลูกพร้อมกันหนึ่งครั้ง ถ้า E1 เป็นเหตุการณ์ที่จะได้แต้มเหมือนกัน และ E2 เป็นเหตุการณ์ที่ผลบวกของแต้มมากกว่าหรือเท่ากับ 10 จงหาอินเตอร์เซกชันของเหตุการณ์ E1 และ E2

วิธีทำ  จากโจทย์ เราจะได้ S= { (1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6),

(2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6),

(3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6),

(4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6),

(5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6),

(6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6) }

E1 = { (1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6) }

และ              E2 = { (4, 6), (5, 5), (5, 6), (6, 4), (6, 5), (6, 6) }

ดังนั้น            E1 Intersection E2 = { (5, 5), 6, 6) }

 

4.3 ผลต่างของเหตุการณ์ (Difference of events)

ข้อกำหนด      ถ้า E1 และ E2 เป็นเหตุการณ์สองเหตุการณ์แล้ว

E1 – E2 คือ เหตุการณ์ที่ประกอบด้วยสมาชิกที่อยู่ในเหตุการณ์ E1 แต่ไม่อยู่ในเหตุการณ์ E2

 

ตัวอย่างที่ 6 กำหนดให้ S = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 }

E1 = { 1, 3, 5 }

และ                       E2 = { 2, 3, 4, 5, 6 }

จงหา             1.  E1 – E2                 2. E2 – E1

วิธีทำ

1. E1 – E2 = { 1, 3, 5 } –  { 2, 3, 4, 5, 6 } = { 1 }

2. E2 – E1 = { 2, 3, 4, 5, 6 } – { 1, 3, 5 } = { 2, 4, 6 }

 

4.4 คอมพลีเมนต์ของเหตุการณ์ (Complement of events)

ข้อกำหนด      ถ้า S เป็นแซมเปิลสเปซ และ E เป็นเหตุการณ์ที่เป็นสับเซตของ S แล้ว

E’ คือเหตุการณ์ที่ประกอบด้วยสมาชิกที่อยู่ในแซมเปิลสเปซ S แต่ไม่อยู่ในเหตุการณ์ E

 

ตัวอย่างที่ 7 เลือกจำนวนเต็มหนึ่งจำนวน จากจำนวน 1, 2, 3,…, 10 ถ้า E1 เป็นเหตุการณ์ที่ได้จำนวนที่หารด้วย 4 ลงตัว และ E2 เป็นเหตุการณ์ที่ได้จำนวนที่ถอดรากที่สองแล้วได้จำนวนเต็มแล้ว จงหา E1’ และ E2

วิธีทำ            E1 = { 4, 8 }

E2 = { 4, 9 }

 

ดังนั้น E1’ = { 1, 2, 3, 5, 6, 7, 9, 10 }

และ E2’ = {1, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 10}

อ้างอิง

http://www.scimath.org/socialnetwork/groups/viewbulletin/893-6+%E0%B8%97%E0%B8%A4%E0%B8%A9%E0%B8%8E%E0%B8%B5%E0%B9%80%E0%B8%9A%E0%B8%B7%E0%B9%89%E0%B8%AD%E0%B8%87%E0%B8%95%E0%B9%89%E0%B8%99%E0%B8%82%E0%B8%AD%E0%B8%87%E0%B8%84%E0%B8%A7%E0%B8%B2%E0%B8%A1%E0%B8%99%E0%B9%88%E0%B8%B2%E0%B8%88%E0%B8%B0%E0%B9%80%E0%B8%9B%E0%B9%87%E0%B8%99?groupid=193

 

Leave a comment

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s